基本情報【科目B】令和5年度サンプル問題問5(コサイン類似度・式の読解):式とプログラムを照らし合わせるだけ

基本情報技術者試験科目Bの「令和5年度サンプル問題問5」(式の読解・コサイン類似度)を、図解で解説します。式がいかつくて飛ばしたくなりますが、問題文の式とプログラム中の式を1対1で照らし合わせる だけで、難しい数学の知識なしに解けます。

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問題(令和5年度サンプル問題問5)
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問題(令和5年度サンプル問題問5)

次のプログラム中の【 a 】と【 b 】に入れる正しい答えの組合せを，解答群の中から選べ。ここで，配列の要素番号は 1 から始まる。

コサイン類似度は，二つのベクトルの向きの類似性を測る尺度である。関数 calcCosineSimilarity は，いずれも要素数が n（n≧1）である実数型の配列 vector1 と vector2 を受け取り，二つの配列のコサイン類似度を返す。配列 vector1 が {a₁, a₂, …, aₙ}，配列 vector2 が {b₁, b₂, …, bₙ} のとき，コサイン類似度は次の数式で計算される。ここで，配列 vector1 と配列 vector2 のいずれも，全ての要素に 0 が格納されていることはないものとする。

$$ \frac{\mathrm{a}_{1}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{2}\mathrm{b}_{2}+\cdots+\mathrm{a}_{n}\mathrm{b}_{n}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}^{2}+\mathrm{a}_{2}^{2}+\cdots+\mathrm{a}_{n}^{2}}\sqrt{\mathrm{b}_{1}^{2}+\mathrm{b}_{2}^{2}+\cdots+\mathrm{b}_{n}^{2}}} $$

〔プログラム〕

○ 実数型: calcCosineSimilarity(実数型の配列: vector1,
                              実数型の配列: vector2)
  実数型: similarity, numerator, denominator, temp ← 0
  整数型: i
  numerator ← 0

  for (i を 1 から vector1の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    numerator ← numerator + 【 a 】
  endfor

  for (i を 1 から vector1の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    temp ← temp + vector1[i] の2乗
  endfor
  denominator ← temp の正の平方根

  temp ← 0
  for (i を 1 から vector2の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    temp ← temp + vector2[i] の2乗
  endfor
  denominator ← 【 b 】

  similarity ← numerator ÷ denominator
  return similarity

解答群

	a	b
ア	(vector1[i] × vector2[i]) の正の平方根	denominator × (tempの正の平方根)
イ	(vector1[i] × vector2[i]) の正の平方根	denominator + (tempの正の平方根)
ウ	(vector1[i] × vector2[i]) の正の平方根	tempの正の平方根
エ	vector1[i] × vector2[i]	denominator × (tempの正の平方根)
オ	vector1[i] × vector2[i]	denominator + (tempの正の平方根)
カ	vector1[i] × vector2[i]	tempの正の平方根
キ	vector1[i] の2乗	denominator × (tempの正の平方根)
ク	vector1[i] の2乗	denominator + (tempの正の平方根)
ケ	vector1[i] の2乗	tempの正の平方根

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解説

正解は エ（a ＝ vector1[i] × vector2[i]，b ＝ denominator × (tempの正の平方根)） です。

数式が複雑で身構えますが、やることは「問題文の式とプログラムの式を照らし合わせ、選択肢を1つに絞る」だけです。

①式と戻り値を確認

コサイン類似度を求める式が書かれており、二つの配列のコサイン類似度を返す より、式がそのまま戻り値となることも確認しておきます。

②解答群を確認

a・b それぞれ以下の3択です。

aの候補	bの候補
vector1[i] × vector2[i] の正の平方根	denominator × (tempの正の平方根)
vector1[i] × vector2[i]	denominator + (tempの正の平方根)
vector1[i] の2乗	tempの正の平方根

候補をトレース表に書いておくと、解きやすいです。書く際は、v1[i]、deno、などわかる形で省略しましょう。

(記述例)

a	b
v1[i] × v2[i]の平	deno × (tempの平)
v1[i] × v2[i]	deno + (tempの平)
v1[i]の2乗	tempの平

③問われている内容を確認

numerator ← numerator + 【 a 】・denominator ← 【 b 】 なので、numerator と denominator が何を指すのかを確認します。

similarity ← numerator ÷ denominator のあと、similarity を return しています。よって、①で確認した式は、プログラム上 numerator ÷ denominator です。

$$ \frac{numerator}{denominator} $$

(問題文の式)

`配列 vector1 が {a₁, a₂, …, aₙ}，配列 vector2 が {b₁, b₂, …, bₙ} のとき` とあるので、a が vector1、b が vector2 であることも、このタイミングで確認しておけるとスムーズです。

④numerator ← numerator + 【 a 】

numerator が使われているのは、以下の1箇所のみです。

  for (i を 1 から vector1の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    numerator ← numerator + 【 a 】
  endfor

式より、numerator の完成形は a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ です。a の候補は以下の3択なので、この中でどれを入れれば完成形になるかを考えます。

aの候補
vector1[i] × vector2[i] の正の平方根
vector1[i] × vector2[i]
vector1[i] の2乗

問題文 配列 vector1 が {a₁, a₂, …, aₙ}，配列 vector2 が {b₁, b₂, …, bₙ} のとき より、vector1 は a、vector2 は b です。b(vector2) が使われていない vector1[i]の2乗 が、候補から外れます。

残った候補は次の2つで、違いは「正の平方根を取るかどうか」だけです。

vector1[i] × vector2[i]
vector1[i] × vector2[i] の正の平方根

完成形 a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ を見ると、各項は aᵢ と bᵢ を単純に掛けたものを足し合わせた形です。vector1[i] × vector2[i] を繰り返し足していけば作れるので、正の平方根は必要ありません。よって【a】は vector1[i] × vector2[i] です。

ポイントは「正の平方根が必要かどうか」だけで絞れることです。正の平方根が具体的に何を意味するかまで理解する必要はありません。

⑤denominator ← 【 b 】

denominator の完成形の式は √(a₁²+a₂²+...+aₙ²) √(b₁²+b₂²+...+bₙ²)（式の分母）です。denominator はプログラム上、以下の2箇所で代入されています。

  for (i を 1 から vector1の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    temp ← temp + vector1[i] の2乗
  endfor
  denominator ← temp の正の平方根

  temp ← 0
  for (i を 1 から vector2の要素数 まで 1 ずつ増やす)
    temp ← temp + vector2[i] の2乗
  endfor
  denominator ← 【 b 】

実際には2つの処理は連続しています。わかりやすいようにブロックを分けています。

1つめの繰り返しで vector1(a) が、2つめの繰り返しで vector2(b) が使われています。よって1回目の繰り返しの denominator ← temp の正の平方根 によって、完成形 √(a₁²+...) √(b₁²+...) のうち、前半の a 部分 √(a₁²+a₂²+...+aₙ²) が代入されていると推測できます。

なお、ここで `正の平方根` が √ を指すこともわかります。

√(a₁²+...+aₙ²) が代入されている denominator を、完成形 √(a₁²+...+aₙ²) √(b₁²+...+bₙ²) にするには、denominator に √(b₁²+...+bₙ²) を かけ合わせれば 良いです。選択肢の中で denominator × があるのは1択なので、【b】には denominator × (tempの正の平方根) が入ります。

(参考：他の選択肢) 他の2つを選ぶと、完成形になりません。

解答群	結果
denominator + (tempの正の平方根)	`√(a₁²+a₂²+...+aₙ²) + √(b₁²+b₂²+...+bₙ²)`
tempの正の平方根	`√(b₁²+b₂²+...+bₙ²)`